اختر فیزیکدان‌ها دلایلی را یافته‌اند که روایت تصحیح‌شده‌ای از قانون دوم نیوتون (که با جرم و شتاب سروکار دارد) در مقیاس بزرگ عالم به خوبی کار می‌کند. این تصحیح‌های فیزیک نیوتونی به «دینامیک نیوتونی تصحیح شده» (Modified Newtonican Dynamics) (MOND) معروفند. الکس ایگناتیف (Alex Ignatiev) می‌گوید «نیوتون مبنایی را برای مکانیک کلاسیک در رابطه با نیرو، جرم و شتاب دراختیار می‌گذارد. این مبنا همواره، به استثنای موارد خاص صادق است». ایگناتیف روشی را برای آشکارسازی این مورد خاص ابداع کرده است که با شتاب‌های مختصر بر روی زمین سروکار دارد. این نوع آزمایش اغلب چنان دشوار درنظر گرفته می‌شد که در گذشته آن را ناممکن می‌دانستند. ایگناتیف که دانشمند انستیتوی پژوهش‌های فیزک نظری در ملبورن استرالیاتس، می‌گوید: «ما قبلاً مشاهده‌هایی از این نظریه با دلایل اختر فیزیکی داشتیم اما می‌خواهم ببینم که این نظریه روی زمین چگونه می‌شود». پیشنهاد ایگناتیف درباره‌ی چگونگی انجام این کار با عنوان «آیا نقض قانون دوم نیوتون امکان‌پذیر است؟» در فیزیکال ریویولترز چاپ شده است.

ایگناتیف می‌گوید «ولتسنرام‌های نقض قانون دوم نیوتون در شرایط خاص بر روی زمین با فیزیک بنیادی سروکار دارد. اگر قانون دوم بر روی زمین نقض شود، باید هر چیزی را که می‌دانیم مورد ارزیابی مجدد قرار دهیم» و این جایی است که مشکلات پیشنهاد ایگناتیف آغاز می‌شود. به نظر ایگناتیف «شرایط لازم برای آزمودن این موضوع واقعاً بسیار خاص است. زمان و مکان آن را باید به حساب آورد. جاهای ممکن برای انجام این آزمایش 80 درجه شمال و جنوب استواست. این در عرض‌های جغرافیایی مانند قطب جنوب و گرینلند قرار دارد که نواحی مساعدی نیستند اما زمان انجام آن نیز اهمیت دارد و باید به دقت تنظیم شود». ایگناتیف تأکید می‌کند که فقط در مدت 1000/1 ثانیه در دو تاریخ در طول سال، در حوالی اعتدال‌ها برای این کار مناسب است».

اگر قرار باشد این آزمایش‌ها انجام شوند، دانشمندان باید در جست‌وجوی چیزی باشند که اثر Static High Latitude Modified Inertia (SHLEM) نامیده می‌شود که حرف‌های اول لختی اشیای تصحیح شده‌ی عرض‌های جغرافیایی زیاد در هنگام اعتدال است و در شرایطی قابل ملاحظه است که نیروهای چرخش زمین حول محورش را نیروی مداری حرکت زمین به دور خورشید خنثی کند. به گفته‌ی ایگناتیف «این موضوع به جابه‌جایی مختصری می‌انجامد که باید آشکار ساخته شود» اما این موضوع چه‌قدر امکان‌پذیر است؟ به استثنای محاسبه‌هایی که به گفته‌ی او به تعیین تاریخ‌ها و مکان‌های مناسب آشکارسازی اثر SHLEM انجامیده است. به نظر ایگناتیف این کار شدنی است و چنان که قبلاً گمان می‌رفت، ناممکن نیست.

ایگناتیف می‌گوید «آشکارسازهای موج گرانشی نقطه‌های شروع خوبی هستند. به نظر او جست‌وجوی انتقال‌های مختصر در گرانی می‌تواند به شناخت این جابه‌جایی‌ها یا شتاب‌های مختصر کمک کند. به نظر یگناتیف «گرچه ما به نیروهای متفاوتی می‌نگریم اما روش آشکارسازی گرانشی را می‌توان برای این تحقیق به‌کار برد زیرا گرانشی، نیرویی ضعیف با تمام انواع جابه‌جایی‌هاست و جابه‌جایی‌های شتاب نیز به همین صورت کوچکند». او اضافه می‌کند «آشکارسازهای موج گرانشی زیادی وجود  دارند و آشکارسازهای بیش‌تری نیز در حال ساخت هستند».

  به رغم شرایط خاص لازم برای آزمودن نقض قانون دوم نیوتون بر روی زمین ایگناتیف حس می‌کند که این کار ارزش تحمل آن‌ها را دارد. به نظر او «این کار دشوار است اما ناممکن نیست. اثر SHELM کلید آن است و اگر این نقض را بیابیم، ارزش آن برای فیزیک بنیادی بسیار عظیم خواهد بود».

 مقدمه

علومی که از یونان باستان توسط اندیشمندان اسلامی محافظت و تکمیل شد، از قرون یازدهم میلادی به بعد به اروپا منتقل شد، بیشتر شامل ریاضی و فلسفه ی طبیعی بود. فلسفه ی طبیعی توسط کوپرنیک، برونو، کپلر و گالیله به چالش کشیده شد و از آن میان فیزیک نیوتنی بیرون آمد. چون کلیسا خود را مدافع فلسفه طبیعی یونان می دانست و کنکاش در آن با خطرات زیادی همراه بود، اندیشمندان کنجکاو بیشتر به ریاضیات می پرداختند، زیرا کلیسا نسبت به آن حساسیت نشان نمی داد. بنابراین ریاضیات نسبت به فیزیک از پیشرفت بیشتری برخوردار بود. یکی از شاخه های مهم ریاضیات هندسه بود که آن هم در هندسه ی اقلیدسی خلاصه می شد.

در هندسه ی اقلیدسی یکسری مفاهیم اولیه نظیر خط و نقطه تعریف شده بود و پنچ اصل را به عنوان بدیهیات پذیرفته بودند و سایر قضایا را با استفاده از این اصول استنتاج می کردند. اما اصل پنجم چندان بدیهی به نظر نمی رسید. بنابر اصل پنجم اقلیدس از یک نقطه خارج از یک خط، یک خط و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد. برخی از ریاضیدانان مدعی بودند که این اصل را می توان به عنوان یک قضیه ثابت کرد. در این راه بسیاری از ریاضیدانان تلاش زیادی کردند و نتیجه نگرفتند. خیام ضمن جستجوی راهی برای اثبات "اصل توازی" مبتکر مفهوم عمیقی در هندسه شد. در تلاش برای اثبات این اصل، خیام گزاره هایی را بیان کرد که کاملا مطابق گزاره هایی بود که چند قرن بعد توسط والیس و ساکری ریاضیدانان اروپایی بیان شد و راه را برای ظهور هندسه های نااقلیدسی در قرن نوزدهم هموار کرد. سرانجام و پس از دو هزار سال اصولی متفاوت با آن بیان کردند و هندسه های نااقلیدسی شکل گرفت. بدین ترتیب علاوه بر فلسفه ی طبیعی ریاضیات نیز از انحصار یونانی خارج و در مسیری جدید قرار گرفت و آزاد اندیشی در ریاضیات آغاز گردید.

1-5 اصطلاحات بنیادی ریاضیات

طی قرنهای متمادی ریاضیدانان اشیاء و موضوع های مورد مطلعه ی خود از قبیل نقطه و خط و عدد را همچون کمیت هایی در نظر می گرفتند که در نفس خویش وجود دارند. این موجودات همواره همه ی کوششهای را که برای تعریف و توصیف شایسته ی آنان انجام می شد را با شکست مواجه می ساختند. بتدریج این نکته بر ریاضیدانان قرن نوزدهم آشکار گردید که تعیین مفهوم این موجودات نمی تواند در داخل ریاضیات معنایی داشته باشد. حتی اگر اصولاً دارای معنایی باشند.

بنابراین، اینکه اعداد، نقطه و خط در واقع چه هستند در علوم ریاضی نه قابل بحث است و نه احتیاجی به این بحث هست. یک وقت براتراند راسل گفته بود که ریاضیات موضوعی است که در آن نه می دانیم از چه سخن می گوییم و نه می دانیم آنچه که می گوییم درست است.

دلیل آن این است که برخی از اصطلاحات اولیه نظیر نقطه، خط و صفحه تعریف نشده اند و ممکن است به جای آنها اصطلاحات دیگری بگذاریم بی آنکه در درستی نتایج تاثیری داشته باشد. مثلاً می توانیم به جای آنکه بگوییم دو نقطه فقط یک خط را مشخص می کند، می توانیم بگوییم دو آلفا یک بتا را مشخص می کند. با وجود تغییری که در اصطلاحات دادیم، باز هم اثبات همه ی قضایای ما معتبر خواهد ماند، زیرا که دلیل های درست به شکل نمودار بسته نیستند، بلکه فقط به اصول موضوع که وضع شده اند و قواعد منطق بستگی دارند.

بنابراین، ریاضیات تمرینی است کاملاً صوری برای استخراج برخی نتایج از بعضی مقدمات صوری. ریاضیات احکامی می سازند به صورت هرگاه چنین باشد، آنگاه چنان خواهد شد و اساساً در آن صحبتی از معنی فرضها یا راست بودن آنها نیست. این دیدگاه (صوریگرایی) با عقیده ی کهن تری که ریاضیات را حقیقت محض می پنداشت و کشف هندسه های نااقلیدسی بنای آن را درهم ریخت، جدایی اساسی دارد. این کشف اثر آزادی بخشی بر ریاضیدانان داشت.

2-5 اشکالات وارد بر هندسه اقلیدسی

هندسه ی اقلیدسی بر اساس پنچ اصل موضوع زیر شکل گرفت:

اصل اول - از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه ی دیگر کشید.

اصل دوم - هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد.

اصل سوم - می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم کرد.

اصل چهارم - همه ی زوایای قائمه با هم مساوی اند.

اصل پنجم - از یک نقطه خارج یک خط، یک خط و و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد.

اصل پنجم اقلیدس که ایجاز سایر اصول را نداشت، به هیچوجه واجد صفت بدیهی نبود. در واقع این اصل بیشتر به یک قضیه شباهت داشت تا به یک اصل. بنابراین طبیعی بود که لزوم واقعی آن به عنوان یک اصل مورد سئوال قرار گیرد. زیرا چنین تصور می شد که شاید بتوان آن را به عنوان یک قضیه نه اصل از سایر اصول استخراج کرد، یا حداقل به جای آن می توان معادل قابل قبول تری قرار داد.

در طول تاریخ ریاضیدانان بسیاری از جمله، خواجه نصیرالدین طوسی، جان والیس، لژاندر، فورکوش بویوئی و ... تلاش کردند اصل پنجم اقلیدس را با استفاده از سایر اصول نتیجه بگیرنر و آن را به عنوان یک قضیه اثبات کنند. اما تمام تلاشها بی نتیجه بود و در اثبات دچار خطا می شدند و به نوعی همین اصل را در اثباط خود به کار می بردند. دلامبر این وضع را افتضاح هندسه نامید.

یانوش بویوئی یکی از ریاضیدانان جوانی بود که در این را تلاش می کرد. پدر وی نیز ریاضیدانی بود که سالها در این این مسیر تلاش کرده بود .

و طی نامه ای به پسرش نوشت: تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازی ها تلاش کنی، من پیچ و خم این راه را از اول تا آخر می شناسم. این شب بی پایان همه روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فرو برده است، التماس می کنم دانش موازیها را رها کنی.

ولی یانوش جوان از اخطار پدیر نهرسید، زیرا که اندیشه ی کاملاً تازه ای را در سر می پروراند. او فرض کرد نقیض اصل توازی اقلیدس، حکم بی معنی ای نیست. وی در سال 1823 پدرش را محرمانه در جریان کشف خود قرار داد و در سال 1831 اکتشافات خود را به صورت ضمیمه در کتاب تنتامن پدرش منتشر کرد و نسخه ای از آن را برای گائوس فرستاد. بعد معلوم شد که گائوس خود مستقلاً آن را کشف کرده است.

بعدها مشخص شد که لباچفسکی در سال 1829 کشفیات خود را در باره هندسه نااقلیدسی در بولتن کازان، دو سال قبل از بوئی منتشر کرده است. و بدین ترتیب کشف هندسه های نااقلیدسی به نام بویوئی و لباچفسکی ثبت گردید.

3-5 هندسه های نا اقلیدسی

اساساً هندسه نااقلیدسی چیست؟ هر هندسه ای غیر از اقلیدسی را نا اقلیدسی می نامند. از این گونه هندسه ها تا به حال زیاد شناخته شده است. اختلاف بین هندسه های نا اقلیدسی و اقلیدسی تنها در اصل توازی است. در هندسه اقلیدسی به ازای هر خط و هر نقطه نا واقع بر آن یک خط می توان موازی با آن رسم کرد.

نقیض این اصل را به دو صورت می توان در نظر گرفت. تعداد خطوط موازی که از یک نقطه نا واقع بر آن، می توان رسم کرد، بیش از یکی است. و یا اصلاً خطوط موازی وجود ندارند. با توجه به این دو نقیض، هندسه های نا اقلیدسی را می توان به دو گروه تقسیم کرد.

یک - هندسه های هذلولوی

هندسه های هذلولوی توسط بویوئی و لباچفسکی بطور مستقل و همزمان کشف گردید.

اصل توازی هندسه هذلولوی - از یک خط و یک نقطه ی نا واقع بر آن دست کم دو خط موازی با خط مفروض می توان رسم کرد.

دو - هندسه های بیضوی

در سال 1854 فریدریش برنهارد ریمان نشان داد که اگر نامتناهی بودن خط مستقیم کنار گذاشته شود و صرفاً بی کرانگی آن مورد پذیرش واقع شود، آنگاه با چند جرح و تعدیل جزئی اصول موضوعه دیگر، هندسه سازگار نااقلیدسی دیگری را می توان به دست آورد. پس از این تغییرات اصل توازی هندسه بیضوی بصورت زیر ارائه گردید.

اصل توازی هندسه بیضوی - از یک نقطه ناواقع بر یک خط نمی توان خطی به موازات خط مفروض رسم کرد.

یعنی در هندسه بیضوی، خطوط موازی وجود ندارد. با تجسم سطح یک کره می توان سطحی شبیه سطح بیضوی در نظر گرفت. این سطح کروی را مشابه یک صفحه در نظر می گیرند. در اینجا خطوط با دایره های عظمیه کره نمایش داده می شوند. بنابراین خط ژئودزیک یا مساحتی در هندسه بیضوی بخشی از یک دایره عظیمه است.

در هندسه بیضوی مجموع زوایای یک مثلث بیشتر از 180 درجه است. در هندسه بیضوی با حرکت از یک نقطه و پیمودن یک خط مستقیم در آن صفحه، می توان به نقطه ی اول باز گشت. همچنین می توان دید که در هندسه بیضوی نسبت محیط یک دایره به قطر آن همواره کمتر از عدد پی است.

4-5 انحنای سطح یا انحنای گائوسی

اگر خط را راست فرض کنیم نه خمیده، چنانچه ناگزیر باشیم یک انحنای عددی k به خطی نسبت دهیم برای خط راست خواهیم داشت k=o انحنای یک دایره به شعاع r برابر است با k=1/r.

تعریف می کنند. همچنین منحنی هموار، منحنی ای است که مماس بر هر نقطه اش به بطور پیوسته تغییر کند. به عبارت دیگر منحنی هموار یعنی در تمام نقاطش مشتق پذیر باشد.

برای به دست آوردن انحنای یک منحنی در یک نقطه، دایره بوسان آنرا در آن نقطه رسم کرده، انحنای منحنی در آن نقطه برابر با انحنای دایره ی بوسان در آن نقطه است. دایره بوسان در یک نقطه از منحنی، دایره ای است که در آن نقطه با منحنی بیشترین تماس را دارد. توجه شود که برای خط راست شعاع دایره بوسان آن در هر نقطه واقع بر آن بینهایت است.

برای تعیین انحنای یک سطح در یک نقطه، دو خط متقاطع مساحتی در دو جهت اصلی در آن نقطه انتخاب کرده و انحنای این دو خط را در آن نقاط تعیین می کنیم. فرض کنیم انحنای این دو خط

k1=1/R1 and k2=1/R2

باشند. آنگاه انحنای سطح در آن نقطه برابر است با حاصلضرب این دو انحنا، یعنی :

k=1/R1R2

انحنای صفحه ی اقلیدسی صفر است. همچنین انحنای استوانه صفر است:

k=o

برای سطح هذلولوی همواره انحنای سطح منفی است :

k

برای سطح بیضوی همواره انحنا مثبت است :

k>o

در جدول زیر هر سه هندسه ها با یکدیگر مقایسه شده اند: