فاصله بین دو قله متوالی(یا بین هر دو نقطه تکراری موجی،شکل یکسان دارند )را “طول موج “می نامند و آن را با لاندا نشان می‌دهند.چون شکل موج با سرعت ثابت c پیش میرود،فاصله یک طول موج را در یک دوره تناوب طی می‌کند.

فاصله بین دو نقطه یکسان موج می‌‌باشد که مشخص کننده رنگ موج است. با تعیین رنگ، انرژی و طول موج می‌‌توان یک موج را نسبت به دیگر موج ها سنجید. به عنوان مثال طول موج های کوتاه در طیف مریی در ناحیه بین آبی و فوق بنفش قرار می‌‌گیرد در حالیکه رنگ قرمز دارای طول موج های بلندتری می‌‌باشد. فاصله بین این قله های موج آن چنان کوچک است که واحد آن را نانومتر (ده به توان منفی نه) یا میکرون (ده به توان منفی شش) قرار داده اند. تشعشع الکترومغناطیسی طیف طولانی از طول موج های بلند رادیویی تا طول موج های کوتاه اشعه ایکس را شامل می‌‌شود.

از میان مجموعه مقاله هاى اینشتین مقاله اى که او در سال ۱۹۰۵ عرضه کرد، اثر مهمى در پیشرفت علم داشته است. در آن مقاله پدیده فوتوالکتریک را شرح مى دهد و با استفاده از نظریه کوانتوم پلانک نظریه فوتونى نور را بیان مى کند. بر طبق این نظریه نور مانند انرژى هاى دیگر حالت کوانتومى دارد. کوانتوم نور را که فوتون مى نامیم مقدار مشخص انرژى است که اندازه آن، E، از رابطهhv = Eبه دست مى آید که v بسامد موج و h ثابت پلانک است.

بنابر این نظریه هر چه بسامد نور بیشتر یا طول موج آن کمتر باشد، انرژى فوتون بیشتر است. چنانچه این فوتون ها در مسیر حرکت خود به الکترون هایى برخورد کنند، جذب الکترون مى شوند و انرژى الکترون را بالا مى برند و در نتیجه الکترون مى تواند از میدانى که در آن قرار گرفته است، آزاد و خارج شود. اینشتین به مناسبت توضیح پدیده فوتوالکتریک جایزه نوبل سال ۱۹۲۱ فیزیک را دریافت کرد. نظریه فوتونى او نه فقط نور بلکه سراسر طیف موج هاى الکترومغناطیسى از موج هاى گاما تا موج هاى بسیار بلند را دربرمى گیرد و توضیح مى دهد.

موضوع دومین مقاله اینشتین حرکت براونى بود. در سال ۱۸۲۷ رابرت براون (۱۸۵۸- ۱۷۷۳) گیاه شناس و پزشک انگلیسى حرکت مداوم معلق دو مایع را مشاهده کرد و متوجه شد که این ذره ها با قطرى حدود یک میکرون پیوسته به این سو و آن سو حرکت مى کنند. اینشتین همین آزمایش را در مقاله اى با استفاده از نظریه جنبشى ذره ها تعبیر و تفسیر کرد و از روى آن عدد آوودگادرو را به دست آورد.

اینشتین نظریه نسبیت خاص را در مقاله سوم معرفى کرد. در این مقاله بود که مفاهیم اساسى طبیعت موجى فضا، حجم، زمان و حرکت به طور کامل تغییر کرد. اینشتین ضمن مطالعه هاى خود توانست مسیله سرعت نور را که از مدت ها پیش تعجب دانشمندان را برانگیخته بود، حل وفصل کند. او نظریه خود را براساس دو اصل زیر قرار داد:

۱- سرعت نور در جهان ثابت است

۲- قانون هاى طبیعت براى ناظرین مختلف که یکنواخت حرکت مى کنند یکسان است.

اینشتین نشان داد که اگر ثابت نبودن سرعت نور را بپذیریم، نتیجه هاى شگفت انگیزى به بار مى آید. براى مثل هر چه سرعت حرکت جسمى بیش تر شود، طول آن کوتاه تر و جرمش بیشتر مى شود. نتیجه دیگر آنکه به زمان مطلق و فضاى مطلق به شکلى که پیشینیان تصور مى کردند نمى توان قایل شد و زمان و فضا را جدا و مستقل از یکدیگر نمى توان در نظر گرفت. دنیاى مادى یک فضا و زمان چهاربعدى است. جرم یک جسم نیز ثابت نیست و با تغییر سرعت تغییر مى کند به طورى که مى توان جرم را نوعى انرژى متراکم در نظر گرفت و یا انرژى را جرم پراکنده دانست. اینشتین با بیان نظریه نسبیت خاص، قانون بقاى ماده لاوازیه و اصل بقاى انرژى مایر را به اصل بقاى مجموع ماده و انرژى درآورد و رابطه معروف جرم و انرژى را به دست آورد. اینشتین در سال ۱۹۱۶ نظریه نسبیت عام را تنظیم و اعلام کرد. در این نظریه نه تنها حرکت با سرعت ثابت و مسیر مستقیم، بلکه هر نوع حرکتى در نظر گرفته شده بود. در بسیارى موارد دلیل آنکه سرعت و مسیر حرکت هر متحرکى تغییر مى کند، وجود نیروى جاذبه است. بنابراین در نظریه نسبیت عام باید نیروى جاذبه در نظر گرفته شود. اینشتین یک رشته معادله تنظیم کرد که نشان مى داد اگر در هیچ جا ماند و نیروى جاذبه وجود نداشته باشد، جسم متحرک مسیر مستقیمى را طى مى کند و اگر ماده وجود داشته باشد فضاى پیرامون جسم متحرک دگرگون شده، جسم مسیر منحنى را طى مى کند. نظریه نسبیت عام نشان مى دهد که این منحنى ها چگونه باید باشند و این به طور کامل با آن چه در نظریه جاذبه نیوتن پیش بینى شده بود، تطبیق نمى کرد. براى مثال بر طبق نظریه اینشتین مسیر نور تحت تاثیر میدان جاذبه قوى تغییر مى کند. در صورتى که از قانون هاى نیوتن چنین نتیجه اى به دست نمى آمد. کسوف سال ۱۹۱۹ نظریه اینشتین را ثابت کرد. در سال ۱۹۶۹ دو سفینه پژوهشى که به سمت مریخ فرستاده شدند، اثر خورشید بر مسیر موج هاى رادیویى را مورد مطالعه و مشاهده قرار دادند.

ایران و سال جهانى فیزیک

سال جهانى فیزیک فرصت مناسبى است تا در ایران به نقد آموزش علوم و پژوهش هاى علمى بپردازیم و مشخص کنیم آیا راه و روشى را که از زمان بنیانگذارى دارالفنون تاکنون برگزیده ایم درست و بجا بوده و توانسته است بسترى مناسب براى فعالیت هاى علمى و پژوهشى به وجود آورد. آیا با همه سرمایه گذارى هاى مادى و معنوى توانسته ایم جامعه ایرانى را به حالتى برسانیم که به علم باور داشته باشند، علمى بیندیشند، بتوانند تولیدکننده علم باشند و بدانند که براى رساندن جامعه به خودکفایى و توسعه پایدار، کارى مداوم و جدى و همگانى لازم است.

گرچه نمى توان منکر تلاش هاى صمیمانه افراد و سازمان هاى مؤثر در آموزش علوم جدید در ایران شد لیکن در این مدت نتوانسته ایم به سطح مورد انتظار جامعه برسیم، ولى توانسته ایم پایه هاى اولیه را طرح ریزى و شروع به سازندگى کنیم. این کار از یک سو از دبستان ها و از سوى دیگر از دانشگاه ها آغاز شده است. در دبستان ها فعالیت آموزش علوم با طرح جدیدى که هم اکنون در مدرسه ها اجرا مى شود، آغاز شد. کودکان را به مشاهده مستقیم طبیعت و کارگروهى برانگیخته اند و به جاى آنکه فقط دانستنى ها را به ذهن آنها منتقل کنند، معلمان، کودکان را به مشاهده طبیعت، جمع آورى اطلاعات، طبقه بندى و حتى طراحى آزمایش، فرضیه سازى و نتیجه گیرى تشویق مى کنند و همه اینها مقدمه اى است براى آنکه کودکان با روش علمى آشنا شوند.

در دانشگاه ها تحقیقات سازمان یافته آغاز شده است. پروژه هاى تحقیقاتى گرچه در ابتدا حالت تقلیدى و کتابخانه اى داشت، کم کم به مرحله علمى نزدیک مى شود و امید است، تحقیقات به معناى واقعى در کشور آموزش داده شود و جریان یابد.

اکنون مشکل بزرگ در برنامه دبیرستان ها وجود دارد. دانش آموزان به جاى آموختن روش حل مسیله به حفظ کردن پاسخ ها مى پردازند تا آنها را تحویل آزمون ها و کنکور دانشگاه دهند و به مدرک هاى بالاتر دست یابند. با توجه به آنکه مخاطبان سال جهانى فیزیک، دانش آموزان نیز هستند مى توان امیدوار بود که با نیروهاى مخلصى که در میان معلمان وجود دارد و نیز تشویق هایى که از طرف سازمان ها صورت مى گیرد و کارگاه هاى علمى که از سوى کشورهاى پیشرفته صنعتى در کشور تشکیل و اجرا مى شود، به هدف هاى مورد نظر دست یافت و روش علمى را در فعالیت هاى آموزشى و پژوهشى یاد گرفت و به کار برد.

نویسنده این نوشته تاکنون شاهد همایش ها و جلسه هاى متعددى بوده که از سوى دبیران فیزیک و انجمن هاى علمى تشکیل شده و دانش آموزان و دبیران به تهیه و عرضه مقاله هاى علمى و تولید نرم افزارهاى کامپیوترى و نیز ابزارهاى آزمایشگاهى و کارگاهى دست زده اند. همه این کارها به علاقه مندان این کشور امید مى دهد که جامعه علمى ما در حال بیدار شدن است. بیدارگران پرتلاش و پر امید به بیدار کردن خواب آلودگان مشغولند. گرچه برخى از سازمان ها و افراد هنوز در کار متوقف کردن جریان علمى در کشور هستند، اما در جامعه نه تنها زنگ ها بلکه ناقوس هاى بیدارى به صدا درآمده و هیچ فردى را فرصت و مهلت خوابیدن نمى دهد.

روزى که اینشتین رمق فکر کردن نداشت

اینشتین در نوجوانى علاقه چندانى به تحصیل نداشت. پدرش از خواندن گزارش هایى که آموزگاران درباره پسرش مى فرستادند، رنج مى برد. گزارش ها حاکى از آن بودند که آلبرت شاگردى کندذهن، غیرمعاشرتى و گوشه گیر است. در مدرسه او را «باباى کندذهنى» لقب داده بودند. او در ۱۵ سالگى ترک تحصیل کرد، در حالى که بعدها به خاطر تحقیقاتش جایزه نوبل گرفت!

شاید شما نیز این جملات را خوانده یا شنیده باشید و شاید این پرسش نیز ذهن شما را به خود مشغول کرده باشد که چگونه ممکن است شاگردى که از تحصیل و مدرسه فرارى بوده است، برنده جایزه نوبل و به عقیده برخى از دانشمندان، بزرگ ترین دانشمندى شود که تاکنون چشم به جهان گشوده است؟

با مطالعه دقیق تر زندگى این شاگرد دیروز، پاسخ مناسبى براى این پرسش پیدا خواهیم کرد. آلبرت بچه آرامى بود و والدینش فکر مى کردند که کندذهن است. او خیلى دیر زبان باز کرد، اما وقتى به حرف آمد، مثل بچه هاى دیگر «من من» نمى کرد و کلمه ها را در ذهنش مى ساخت. وقتى به سن چهار سالگى پاگذاشت، با بیلچه سر خواهر کوچکش را شکست و با این کار ثابت کرد که اگر بخواهد، مى تواند بچه ناآرامى باشد!

پدر و مادر آلبرت به بچه هاى کوچک خود استقلال مى دادند. آنان آلبرت چهارساله را تشویق مى کردند که راهش را در خیابان هاى حومه مونیخ پیدا کند. در پنج سالگى او را به مدرسه کاتولیک ها فرستادند. آن مدرسه با شیوه اى قدیمى اداره مى شد. آموزش از طریق تکرار بود. همه چیز با نظمى خشک تحمیل مى شد و هیچ اشتباهى بى تنبیه نمى ماند و آلبرت از هر چیزى که حالت زور و اجبار و جنبه اطاعت مطلق داشته باشد، متنفر بود. اغلب کسانى که درباره تنفر اینشتین از مدرسه، معلم و تحصیل نوشته اند، به نوع مدرسه، شیوه تدریس معلم و مطالبى که این دانش آموز باید فرا مى گرفت، کمتر اشاره کرده اند. بازخوانى یک واقعه مهم در زندگى اینشتین ما را با مدرسه محل تحصیل او آشناتر مى کند: روزى آلبرت مریض بود و در خانه استراحت مى کرد. پدرش به او قطب نماى کوچکى داد تا سرگرم باشد. اینشتین شیفته قطب نما شد. او قطب نما را به هر طرف که مى چرخاند، عقربه جهت شمال را نشان مى داد. آلبرت کوچولو به جاى این که مثل سایر بچه ها آن را بشکند و یا خراب کند، ساعت ها و روزها و هفته ها و ماه ها به نیروى اسرارآمیزى فکر مى کرد که باعث حرکت عقربه قطب نما مى شود. عموى آلبرت به او گفت که در فضا نیروى نادیدنى (مغناطیس) وجود دارد که عقربه را جابه جا مى کند. این کشف تاثیر عمیق و ماندگارى بر او گذاشت. در آن زمان، این پرسش براى آلبرت مطرح شد که چرا در مدرسه، چیز جالب و هیجان انگیزى مثل قطب نما به دانش آموزان نشان نمى دهند؟! از آن به بعد، تصمیم گرفت خودش چیزها را بررسى کند و به مطالعه آزاد مشغول شود. اینشتین ده ساله بود که در دبیرستان «لویت پولت» ثبت نام کرد. در آن موقع، علاقه بسیارى به ریاضى پیدا کرده بود. این علاقه را عمویش اکوب و یک دانشجوى جوان پزشکى به نام ماکس تالمود در وى ایجاد کرده بودند. تالمود هر پنجشنبه به خانه آنان مى آمد و درباره آخرین موضوعات علمى با آلبرت حرف مى زد. عمویش نیز او را با جبر آشنا کرده بود. اینشتین در دوازده سالگى از تالمود کتابى درباره هندسه هدیه گرفت. او بعدها آن کتاب را مهم ترین عامل دانشمند شدن خود عنوان کرد. با این که آلبرت در خانه چنین علاقه اى به ریاضیات و فیزیک نشان مى داد، در دبیرستان چندان درخششى نداشت. او در نظام خشک و کسل کننده دبیرستان، علاقه اش را به علوم از دست مى داد و نمراتش کمتر و کمتر مى شدند. بیشتر معلمانش معتقد بودند که او وقتش را تلف مى کند و چیزى یاد نمى گیرد. هرچند اینشتین به قصد این درس مى خواند که معلم شود نه فیزیکدان، اما از معلمان خود دل خوشى نداشت و از زورگویى آنان و حفظ کردن درس هاى دبیرستان، دل پرخونى داشت. از این رو، خود را به مریضى زد و با این حیله، مدتى از دبیرستان فرار کرد! چون معلم ها نیز از او دل خوشى نداشتند، شرایط را براى اخراج او از مدرسه فراهم کردند. اینشتین بعدها در این باره گفت: «فشارى که براى از بر کردن مطالب امتحانى بر من وارد مى آمد، چنان بود که بعد از گذراندن هر امتحان تا یک سال تمام، رمق فکر کردن به ساده ترین مسیله علمى را نداشتم!» اینشتین بعدها مجبور شد در دبیرستان دیگرى دیپلم خود را بگیرد و سرانجام با هزار بدبختى گواهینامه معلمى را دریافت کند. بعد از آن، مدتى معلم فیزیک در یک مدرسه فنى شد، اما چون روش هاى خشک تدریس را نمى پسندید، پیشنهادهایى در مورد تدریس به رییس مدرسه داد که پذیرفته نشدند و به این ترتیب بهانه اخراج خود را فراهم کرد.اینشتین پس از این واقعه، زندگى دانشجویى را برگزید و پس از فارغ التحصیلى، در اداره ثبت اختراعات به کار مشغول شد. او از کار کردن در این اداره راضى بود. عیب دستگاه هاى تازه اختراع شده را پیدا مى کرد و در ساعت ادارى، وقت کافى داشت تا به فیزیک فکر کند. در همین اداره بود که مقاله هاى متعددى نوشت و در مجلات معتبر منتشر کرد. جالب این که دانشمند بزرگ که با فرضیات خود انقلابى در جهان دانش به پا کرد، در شرایطى کار مى کرد که براى هر دانشمند دیگرى غیرممکن بود! او نه با فیزیکدان حرفه اى تماس داشت و نه به کتاب ها و مجلات علمى مورد نیاز دسترسى داشت. در فیزیک فقط به خود متکى بود و کس دیگرى را نداشت که به او تکیه کند! اکتشافات او چنان خلاف عرف بودند که به نظر فیزیکدانان حرفه اى، با شغلى که او به عنوان یک کارمند جزء در دفتر ثبت اختراعات داشت، سازگار نبودند.

تاریخچه

در سال 1923 جوان 32 ساله‌ای از طبقه اشراف فرانسه ، به نام مارکی لویی دوبروی (Debroglie) ، که مطالعات خود را با تحصیل تاریخ قرون وسطی آغاز کرد و بعدها کم‌کم به فیزیک نظری علاقه‌مند شد، رساله دکترایی به دانشگاه علوم پاریس عرضه داشت که شامل نظریه‌های شگفتی بود. دوبروی عقیده داشت که حرکت ذرات مادی توسط امواجی همراهی و هدایت می‌شود که همراه با ماده در فضا انتشار پیدا می‌کند.

رابطه دوبروی در تابش الکترومغناطیسی

آزمایشهای مربوط به تداخل و پراش تابش الکترومغناطیسی را در صورتی می‌توان توضیح داد که تابش فقط متشکل از امواج باشد. همچنین اثرهای دقیقا کوانتومی تابش الکترومغناطیسی ، مانند اثرهای فوتو‌الکتریک و کامپتون را در صورتی می‌توان توصیف کرد که نور فقط متشکل از فوتونهای ذره گونه باشد. اگر اندازه حرکت فوتون ذره گونه را با P نشان دهیم، در این صورت بر اساس رابطه دوبروی طول موج مربوط به موج منتسب به فوتون به صورت زیر خواهد بود:

اهمیت ثابت پلانک در رابطه دوبروی

رابطه دوبروی نه تنها در مورد تابشهای الکترومغناطیسی بلکه در مورد ذرات دیگر مانند الکترون نیز برقرار است. یعنی در مورد هر ذره با اندازه حرکت P ، طول موجی که برای موج منتسب به آن ذره در نظر گرفته می‌شود، طبق رابطه بیان خواهد شد، که در این رابطه h ، ثابت پلانک است. در این رابطه اهمیت ثابت پلانک آشکار می‌شود. چون در طرف اول رابطه بیانگر خاصیت موجی و در طرف درP بیانگر خاصیت ذره‌ای است و نقش ثابت پلانک در ارتباط این دو کمیت (یا دو خاصیت متفاوت) است.

تائید تجربی رابطه دوبروی

تحقیقات دوبروی توجه زیادی را جلب کرد و دانشمندان زیادی پیشنهاد کردند که صحت و سقم این رابطه را مورد آزمایش قرار دهند در مورد تابش الکترومغناطیسی ، ماکسول و هرتز خواص موج گونه آن را کشف کردند و براین مبنا تداخل و پراش را تعبیر کردند. بنابراین ، برای اینکه ثابت کنیم که یک ذره مادی دارای طبیعت موجی است، لازم نیست که نخست طبیعت پدیده موجی را بشناسیم برای آزمایش فرضیه دوبروی کافی است که بر اساس آزمایش تعیین کنیم که آیا ذرات مادی پدیده های تداخل و پراش را نشان می‌دهند یا نه؟

یک نمونه از این آزمایشها مربوط به الکترون بود که توسط دیوسیون (Davison ) و گرومر (Germer) انجام شد طبیعت ذره‌ای الکترون خیلی بیشتر از آزمایش دیوسیون و گرومر کشف شده بود. بنابراین این آزمایش به صورت تجربی رابطه دوبروی را تایید کرد. بعداز آزمایش مربوط به پراش الکترون ، دانشمندان آزمایشهای پراش ذرات را با باریکه‌های هیدروژن مولکولی و هلیوم و نوترونهای آهسته انجام دادند. پراش نوترون به ویژه در مطالعه ساختار بلورها مفید است.

تعمیم نظریه دوبروی

نظریه‌های دوبروی در سال 1926 توسط اروین شرودینگر (Schrödinger) ، فیزیکدان اتریشی تعمیم داده شد و بر مبنای صرفا ریاضی قرار گرفت. شرودینگر این نظریه‌ها را در معادله معروف خود ، که قابل استفاده در حرکت ذرات میدان نیرویی بوده قرار داد. استفاده از معادله شرودینگر در مورد هیدروژن و نیز در مورد اتمی پیچیده‌تر ، نتایج نظریه مدارهای کوانتومی را دوباره تأیید کرد.

مفاهیم پایه لامپ پرتوی کاتدی

تفنگ الکترونی

طرز کار لامپ پرتوی کاتدی

نوسان نگار پرتو کاتدی

کاربردهای لامپ پرتوی کاتدی

تلویزیون

مقدمه

اتساع زمان که یکی از مهمترین نتایج نظریه نسبیت است، موجب شد که انقباض لورنتس - جرالد ، قدم به صحنه رقابت بگذارد. ناظر O در چارچوب ساکن لختی قرار دارد و می خواهد طول لوله‌ای را محاسبه کند . روش اندازه گیری او ، اینگونه است که یک شی را با سرعت ثابت v ، از یک سر لوله پرتاب می کند و با ثبت مدت زمانی که آن شیء به آن سر لوله می‌رسد ، و با استفاده از فومول‌های سینماتیک ، طول لوله را می‌یابد. او طول لوله را L محاسبه می‌کند .( L=t .v)

ناظر Z واقع در چارچوب متحرک لختی نیز می‌خواهد طول همان لوله را محاسبه کند . او برای محاسبه طول لوله از شیوه ی ناظر O استفاده می‌کند و طول لوله را L` می یابد .(L`=t` .v`) طبق نتایج قبلی نسبیت ( اتساع زمان) ، به این نتیجه رسیدیم که زمان در چارچوب متحرک نسبت به چارچوب ساکن ، کندتر می گذرد . پس t > t` بنابراین L > L` ، که نشان دهنده انقباض طول لوله در چارچوب متحرک است . درک چنین واقعیتی بسیار دشوار و سخت است . اما لورنتس علت آن را تغییر در نیروی الکترومغناطیسی اتم ها در سرعت‌های بالا می‌داند.


در محدوده فیزیک کلاسیک یا محدوده سرعتهای پایین تر از سرعت نور ، فضا و زمان دو کمیت مطلق و پایا هستند، اما در سرعتهای نزدیک به سرعت نور ، این کمیتها مطلق بودن خود را از دست داده و نسبت به سرعت ناظر متغیر خواهند بود. بنابراین اگر فاصله بین دو نقطه در یک چارچوب مرجع برابر l باشد، این فاصله در چارچوب دیگر که نسبت به اولی دارای حرکت با سرعتی نزدیک سرعت نور است، همان l نخواهد بود و مقداری کمتر خواهد داشت. این پدیده را اصطلاحا انقباض طول یا انقباض فضا می‌گویند.

محاسبه رابطه انقباض طولی

فرض کنید در چارچوب مرجع که ساکن است، خط کشی به طول وجود دارد. یک چشمه نور به انتهای این خط کش وصل می‌‌کنیم. فرض کنید مدت زمان لازم برای اینکه نور از چشمه تا انتهای آینه‌ای که در انتهای دیگر خط کش قرار دارد، رفته و برگردد، یعنی یک حرکت رفت و برگشت در طول خط کش انجام دهد، برابر "t∆ می‌‌باشد. بنابراین می‌‌توان رابطه را نوشت که در آن C سرعت نور است. به دلیل اینکه چارچوب مرجع ساکن است، لذا این فاصله ، یعنی نقطه خروج و نقطه بازگشت نور را طول ویژه می‌‌گویند.

حال چارچوب دیگر S را در نظر بگیرید که در آن همان وضیعت برقرار است، یعنی یک خط کش به طول l و یک چشمه نور در یک سر آن و آینه‌ای در انتهای دیگر آن است. در این چارچوب خط کش با سرعت u در حال حرکت است. فرض کنید طول خط کش در چارچوب S برابر l بوده و فاصله زمانی انتقال نور از چشمه به آینه برابر t_1∆ اندازه گیری شده باشد. در این مدت خط کش همراه با چشمه و آینه متصل به آن مسافت u∆t_1 را طی می‌‌کند. بنابراین اگر کل طول مسیر را برابر d فرض کنیم، در این صورت d=l+u∆t_1 خواهد بود.

از طرف دیگر ، بر اساس اصول نسبیت خاص می‌‌دانیم که همواره سرعت نور مستقل از حرکت چارچوبهای مرجع بوده و مقداری ثابت است. بنابراین باید داشته باشیم:

حال اگر این کمیت را در رابطه بالا قرار دهیم، مقدار t₁\over C-u} حاصل خواهد شد. اگر زمان لازم برای برگشت نور از آینه به چشمه را نیز برابر t_2∆ فرض کنیم، در این صورت می‌‌توانیم را محاسبه کنیم و لذا زمان کل رفت و برگشت برابر با مجموع این دو مقدار خواهد بود. یعنی

اما از طرف دیگر می‌‌دانیم که زمان مستقل از حرکت چارچوبهای مرجع نبوده و همواره اتساع زمانی خواهیم داشت و لذا بین دو مقدار t∆ و "t∆ رابطه اتساع زمانی برقرار است. بنابراین بعد از اندکی محاسبه ریاضی ساده ، می‌‌توانیم رابطه بین فاصله مکانی دو رویداد را در دو چارچوب مرجع به صورت زیر بنویسیم:

نتیجه

بنابراین l طول خط کش در چارچوب S ، که خط کش در آن متحرک است، کوتاهتر از طول آن در چارچوب است که خط کش نسبت به آن ساکن است. طول هر جسم در چارچوبی که جسم نسبت به آن ساکن است، ویژه طول آن جسم نامیده می‌‌شود. لذا طول ویژه جسم در است و طولی که در هر چارچوب دیگر اندازه گرفته شود، از کوچکتر است. این اثر را انقباض طول می‌‌گویند.

مواردی که در آن انقباض طول وجود ندارد!

در محاسبه رابطه فوق طول مورد نظر با امتداد حرکت نسبی دو ناظر با چارچوب مرجع موازی بود. طولهایی که بر امتداد حرکت نسبی عمود باشند، منقبض نمی‌‌شوند. برای اثبات تجربی این مطلب می‌‌توان دو خط کش مدرج یکسان را در راستای محور y در نظر گرفت و به این نتیجه رسید که علی رغم اینکه برای هر یک از دو ناظر یکی از خط کشها ساکن و دیگری متحرک است، هر دو ناظر به این نتیجه می‌‌رسند که طولهای دو خط کش با هم برابرند و لذا در امتداد عمود بر حرکت نسبی دو چارچوب مرجع هیچ گونه تراکمی وجود ندارد.