دراین مقاله می کوشیم تا نقش ریاضیات را از رهگذر مفاهیم فیزیک جدید، در دنیای زیبا و چندنظمی نانو نشان دهیم.
اغلب اشیاء در جهان -از کوچکترین تا بزرگترین- از مجموعه از المانها تشکیل شده است که هر یک دارای درجه‌ای از آزادی هستند. قوانین پایه‌ای فیزیک این ویژگیها را توضیح می‌دهند. اکنون فرض کنید که می‌خواهید معادلة نیوتن یا شرودینگر را برای 10²³ اتم حل کنید؟ و فرض کنید که قویترین رایانه ها را نیز در اختیار دارید، آیا این امر مقدور است؟ از دیدگاه اتمی پاسخ این سؤال به نظر منفی می‌رسد.
حل مسأله با در نظر گرفته 10²³ اتم زمان زیادی می‌گیرد و نتایج برای تفسیر کاملاً پیچیده می‌شود (هیچ فضای دیسک سختی قادر به ذخیره‌سازی موقعیت 10²³ اتم نمی‌باشد)
علاوه بر این، برای هر ماده، هر ترکیب شیمیایی و ساختار شبکه‌ای مجبور به بارها و بارها محاسبه هستیم. علاوه بر این با زمینه‌های منحصر به فردی از رفتار مواد در فازهای انتقالی جامد، مایع، گاز، پلاسما، فرومغناطیس و ضدفرومغناطیس، ابررسانائی، ابر سیالی و .... مواجهیم. خواص مکانیکی ماده در هر فاز، از فازی به فازی دیگر، متفاوت است. زیرا اتمها دارای درجه آزادی هستند و بعلاوه، پارامترهایی نظیر دما، فشار، نیروی خارجی از فازی به فاز دیگر به شدت تغییر می‌کند. اما سؤال اساسی اینجاست که چگونه رفتار آنها در گذر فاز می‌توان ارتباط داد؟ اگر رفتار مواد را تحت شرایط آزمایشگاهی، در گسترة وسیعی از حالات بررسی کنیم، پارامترهای متعددی را در خواهیم یافت که قادرند شکل مسأله را عوض کنند. اما از سوی دیگر توانائی محاسباتی ما محدود است، بنابراین تقریب مقدور است اما پیشگوئی در چنین مواردی محدود است.
اما از سوی دیگر فیزیکدانان همواره به سوی تئوریهای جهان شمول توجه دارند. رغبت در جهت پیشگوئی رفتار جهان شمول ماده، فیزیکدانان را به سوی« تئوری پدیده‌های بحرانی» سوق داد. «مؤلفه‌های بحرانی» در یک کلاس جهانی مدلسازی قرار دارند. این مؤلفه‌ها نمایشگر مدلی جهان شمول از رفتار ماده هستند و رفتار ماده را به تقارن ماده ( در دیدگاه ساختاری) و ابعاد فضای ماده مرتبط می‌کند. این مقادیر بحرانی، با دقت مناسب بوسیله تئوری قابل محاسبه‌اند.
سیستم‌های بحرانی در« جهان فرکتال »قرار دارند.

تئوریهای مبتنی بر آنالیز ابعادی، مقادیر نسبی برای این مؤلفه‌ها پیشگوئی می‌کنند. برای آنکه پیچیدگی مسأله را درک کنیم، یک تصویر لحظه‌ای از «اسپین» را در یک ماده «فرومغناطیس» مجسم کنید. اکنون به شکل «2» دقت کنید. شکل «2» نمایشگر نتایج یک شبیه سازی برای یک Ising فرو مغناطیس است. بطوریکه، اسپین‌ها می‌توانند دو حالت «بالا» (نمایش داده شده با رنگ مشکی) یا «پایین» باشد.
در حالت «فرومغناطیس»، (دما کمتر از دمای بحرانی)، اغلب «اسپین‌ها» در حالت «بالا» قرار می‌گیرند (شکل سمت چپ)، در حالیکه در حالت« پارامغناطیس» (دما بالاتر از دمای بحرانی)، اسپین‌ها جهت‌گیری تصادفی می‌کنند (شکل سمت راست، رنگ خاکستری).
در اینجا تنها خوشه‌های کوچکی از اسپین‌های هم تراز، از اندازة سیستم، کوچکترند در حالیکه، در موقعیت بحرانی (شکل وسط)، که دما به حد بحرانی رسیده است، خوشه‌های نامحدودی از اسپین‌های حالت «بالا» پدیدار شده‌اند (سیستم در مرز «نظم» قر ار گرفته است).
توجه کنید که خوشة نظم یافته شکل «فرکتال»، با نوسان شکلی در همة مقیاسها،به خودگرفته است. این هندسة‌ فرکتالی از خوشه‌های تشکیل یافته، به طرز عجیبی انعکاس می‌یابند: مقادیری غیرمنطقی از مؤلفه‌های بحرانی! و البته تئوریهای ساده ساز، مشخصات این فرکتالها را نمی‌توانند تعیین کننند. از دیدگاه فیزیکی، نوسانات شکلی در همة مقیاسها، متضمن ناپایداری سیستم در موقعیت بحرانی است.

• اما آیا می‌توانیم امیدوار به درک این رفتار پیچیده باشیم؟
• مکانیک کلاسیک یا کوانتوم؟
• زمانی که به دنیای کوانتوم وارد می‌شویم می‌گوییم:

• مؤلفه‌های بحرانی بصورت آزمایشگاهی چگونه تعیین می‌شوند؟
• چه مؤلفه‌هایی جهانی هستند و کدامیک نیستند؟ مرجع جهان شمول بودن مؤلفه‌های بحرانی کدام است؟
• انتقال فاز اصلاح شده در سیستم‌های محدود (سازه‌های نانوئی) چگونه است؟
• رفتار بحرانی چگونه محاسبه می‌شود؟ آیا می‌توانیم «هندسة فرکتال» مؤلفه‌های بحرانی را درک کنیم؟
• ارتباط میان مؤلفه‌های بحرانی، تقارن داخلی سیستم و ابعاد مسأله، چیست؟
• ارتباط میان سؤالات فوق، برای هر مسأله، چهارچوبی در جهت مطالعة رفتار سازه‌های نانوئی بوجود می‌آورد.